2.3 Das Newton-Côtes Verfahren

Die Funktion f kann nur grob durch eine Konstante c (= Polynom vom Grad 0) angenähert werden, daher konvergiert das Verfahren nur langsam. Der Formel von Newton und Côtes liegt eine Approximation von f durch ein Polynom P höheren Grades zugrunde.

2.3.1 Interpolation durch Polynome

Wir suchen ein Polynom P, das die Funktion f approximiert. Dieses Polynom P vom Grad £ n sei aus der Menge aller reellen Polynome Õ _n und hat die allgemeine Form

P(x) = a₀ + a₁x + ... + a_nxⁿ.

Dieses Polynom soll jetzt an beliebigen n+1 Stützpunkten (x_i; f(x_i)) für i = 0, 1, ..., n mit f übereinstimmen. Abkürzend führen wir f_i := f(x_i) ein. Wir fordern also:

P(x_i) = f_i

Das Polynom muss also folgende Bedingungen erfüllen:

a₀ + a₁x₀ + a₂x₀² + ... + a_nx₀ⁿ = f(x₀)

a₀ + a₁x₁ + a₂x₁² + ... + a_nx₁ⁿ = f(x₁)

.          .                   .                        .                   .

a₀ + a₁x_n + a₂x_n² + ... + a_nx_nⁿ = f(x_n)

Dies stellt ein Gleichungssystem mit n+1 Gleichungen dar. Wir wollen nun wissen, wenn es eine Lösung für das Gleichungssystem gibt, ob sie auch die einzige ist, also ob die Interpolation eindeutig ist.

Wir werden nun die Eindeutigkeit der Polynominterpolation beweisen.

Eindeutigkeitsbeweis:

Nehmen wir an, die Polynome P₁ ,P_{2 Î} Õ _n vom Grad £ n erfüllen beide das Gleichungssystem, es gilt also:

P₁(x_i) = P₂(x_i) = f_i

Die Differenz der Polynome ergibt, da Õ _n einen linearen Raum darstellt, ein neues Polynom P₃:= P₁ – P₂ Î Õ _n vom Grad £ n. P₃ hätte dann n + 1 verschiedene Nullstellen x_i, denn P₃(x₀) = P₃(x₁) = . . . = P₃(x_n) = 0. Das widerspricht aber dem Satz, der besagt, dass ein Polynom vom Grad n höchsten n Nullstellen besitzt. Daraus folgt, dass P₃ die Nullfunktion ist und somit die Identität P₁ = P₂. q.e.d.

Dass auch ein Polynom existiert, welches die Lösung des Interpolationsproblemes darstellt, zeigen wir, indem wir es nach der Formel von Lagrange konstruieren.