2.1 Prinzip

Den folgenden numerischen Integrationsmethoden liegt eine gemeinsame Idee zugrunde: Wir ersetzen die Funktion f(x) durch eine andere Funktion P(x), die eine Näherung für f(x) darstellt. Dann nehmen wir als Approximation für das bestimmte Integral an.

Da P(x) aber nur eine Näherung von f(x) darstellt, entsteht ein maximaler Fehler von .

Infolgedessen ergibt sich bei der Integration ein Integrationsfehler, diesen kann man nach oben abschätzen:

Wir können aber versuchen, den Fehler möglichst klein zu halten, indem wir im Intervall [a, b] eine Zerlegung Z(k) in k Teilintervalle vornehmen. Z(k) wird durch eine endliche Folge reeller Zahlen, den Teilpunkten der Zerlegung a = x₀, x₁, ... , x_i, x_i+1, ... x_k-1, x_k = b bestimmt, wobei a < x₁ < ... < x_i < x_i+1<x_k-1 < b gilt:

Z(k):=(a, x₁, . . ., x_i, x_i+1, x_k-1, b)

Die Zerlegung von [a; b] heißt dann äquidistant, wenn alle Teilintervalle gleich lang sind, also wenn x₁ – a = . . . = x_i+1 – x_i = . . . b – x_k-1. Im folgenden werden wir nur äquidistante Zerlegungen betrachten.

J_i = [x_i, x_i+1] sei das i-te Teilintervall. sei die Approximation von f auf dem Teilintervall J_i. Durch die Zerlegung Z(k) in k Teilintervalle erreichen wir eine höhere Genauigkeit, da f auf jedem Teilintervall durch angenähert wird. Die sind dem Intervall J_i "besser" angepasst, als wenn f auf [a; b] nur durch ein Interpolationspolynom vom selben Grad angenähert würde. Der maximale Approximationsfehler ist dann:

Machen wir die Zerlegung immer feiner, so geht der Fehler gegen Null.

Für den Integrationsfehler können wir daraus folgern, dass er, abhängig von k ebenso beliebig klein wird.

Wir können also durch die Zerlegung Z(k) des Intervalls in k kleinere Teilintervalle beliebig genau an annähern.